抵押人被宣告失踪后，房产抵押合同应由其合法继承人或代管人继续履行。但在特定情况下，抵押权人可以通过协商或诉讼的方式解除抵押合同。在处理过程中，各方当事人应遵守法律规定、保留相关证据并咨询专业人士的意见。
以下是冠领律所根据相关法律规定和常规做法的详细解答：
一、房产抵押合同的继续履行根据《城市房地产抵押管理办法》第二十四条第二款的规定，抵押人死亡、依法被宣告死亡或者被宣告失踪时，其房地产合法继承人或者代管人应当继续履行原抵押合同。这一规定主要是出于保护相对人（即抵押权人）合法权益的考虑，防止因抵押人失踪而导致抵押权无法实现。
二、合法继承人或代管人的责任合法继承人：如果抵押人有合法继承人，那么该继承人应当在继承遗产的范围内继续履行原抵押合同。根据《民法典》的相关规定，继承遗产应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务，缴纳税款和清偿债务以他的遗产实际价值为限。
代管人：如果抵押人没有合法继承人，但有财产代管人（如监护人、管理人等），则该代管人应当在代管财产范围内代其履行原抵押合同。
三、解除抵押合同的途径尽管抵押人被宣告失踪后，其合法继承人或代管人需要继续履行原抵押合同，但在某些情况下，抵押权人可能希望解除抵押合同。此时，可以通过以下途径实现：
协商解除：如果抵押权人与抵押人的合法继承人或代管人能够就解除抵押合同达成一致意见，可以通过协商的方式解除抵押合同。
诉讼解除：如果双方无法就解除抵押合同达成一致意见，抵押权人可以向人民法院提起诉讼，请求法院判决解除抵押合同。在诉讼过程中，法院将会对抵押权人失踪的情况进行审查，并依据相关法律规定作出判决。
四、注意事项遵守法律规定：在解除抵押合同的过程中，各方当事人应当严格遵守相关法律规定，确保自己的行为合法有效。
保留相关证据：为了证明自己的主张和权益，各方当事人应当妥善保留相关证据，如法院判决书、宣告失踪或死亡的证明等。
由于解除抵押合同涉及复杂的法律问题，建议各方当事人在处理过程中咨询专业律师或法律顾问的意见。
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